课后习题（部分） （个人答案，非标准答案！）

习题5.3：

解：

Proof：数学归纳法：
令为：


归纳基础： 当时，

为真；

归纳假设：设为真，即：

归纳步骤：当时，方程两边同时加上，

因此，可知蕴涵，
综上所述，对于任意，都为真。

习题5.4：

解：

Proof：数学归纳法：
令为：


归纳基础： 当时，

为真；

归纳假设：设为真，即：

归纳步骤：当时，方程两边同时加上，

因此，可知蕴涵，
综上所述，对于任意, 且，都为真。

习题5.5：

解：

Proof：数学归纳法：
令为：


归纳基础： 当时，

为真；

归纳假设：设为真，即：

归纳步骤：当时，方程两边同时加上，

因此，可知蕴涵，
综上所述，对于任意, 都为真。

习题5.8：

解：

Proof：强数学归纳法：
令为：


归纳基础： 由斐波那契数列可知：
当时，，

当时，，

当时，，

为真，且；

归纳假设：设为真，且在集合中,都有为真，即：

归纳步骤：当时，

可见，可知蕴涵，证毕。
综上所述，由强归纳法可知，原命题为真。

习题5.11：

解：

Proof：强数学归纳法：
令为：不管有多少个小方格、不论怎么摆放，得到的周长一定是偶数。

其中为小方格数量，1个小方格周长为4。
归纳基础： 当时，放入第个小方格没有重叠的边，

当时，放入第个小方格有一条重叠的边，


当时，放入第个小方格有两条重叠的边，

当时，放入第个小方格有三条重叠的边，

当时，放入第个小方格有四条重叠的边，


为真；

归纳假设：设为真，且在集合中,都有为真，
即：加入第m个小方格后周长仍为偶数；

归纳步骤：当时，加入第个新小方格时周长为，

其中为重叠一条边，为重叠两条边，为重叠三条边，为重叠四条边，
且均为偶数；
可见，可知蕴涵，证毕。
综上所述，由强归纳法可知，原命题为真。

习题5.12：

解：

Proof：数学归纳法：
令为：


归纳基础： 当时，

为真；

归纳假设：设为真，即：

归纳步骤：当时，设，即：

因此，可知蕴涵，
综上所述，对于任意, 都为真。

习题5.14：

解：

Proof：数学归纳法：
令为：


归纳基础： 当时，

为真；

归纳假设：设为真，即：

归纳步骤：当时，方程两边同时加上，

因此，可知蕴涵，
综上所述，对于任意, 都为真。

习题5.15：

解：

Proof：数学归纳法：
令为：


归纳基础： 当时，

为真；

归纳假设：设为真，即：

归纳步骤：当时，方程两边同时加上，

因此，可知蕴涵，
综上所述，对于任意，都为真。

习题5.19：

解：

Proof：数学归纳法：
令为：


归纳基础： 当时，

为真；

归纳假设：设为真，即：

归纳步骤：当时，方程两边同时加上，

因此，可知蕴涵，
综上所述，对于任意，都为真。